Александр Анатольевич Кривцов родился 27 ноября 1967 года в городе Ленинске-Кузнецком Кемеровской области.

В 1991 году окончил Омский государственный институт физической культуры по специальности «Физическая культура и спорт», квалификация преподаватель - тренер по легкой атлетике.

С 1990 по 1994 годы работал учителем физической культуры в Тяжинской средней школе № 2.

С 1994 по 2000 год – начальник отдела охраны инкассации и безопасности Тяжинского отделения Сберегательного банка Российской Федерации.

с 2000 по 2007 год – начальник отдела молодежной политики и спорта администрации Тяжинского района.

с 2007 по 2014 год работал в департаменте молодежной политики и спорта Кемеровской области.

с 2014 по 2015 год – заместитель директора по спорту Областной школы высшего спортивного мастерства №  2 – центра спортивной подготовки.

с апреля 2015 по сентябрь 2015 года занимал должность первого заместителя главы Мариинского муниципального района.

18 сентября 2015 года вступил в должность главы Мариинского муниципального района.

19 ноября 2021 года вступил в должность главы Мариинского муниципального округа.